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問題演習ベクトル a^2/4+b^2=1とする

問題演習ベクトル。計算問題中学以上を出し合う場所。

a^2/4+b^2=1とする。

a+2bの取りうる値の範囲を求めよ
この数学がわかりません。おしえてください。

$/vec{OP}= u/vec{a} + v/vec{b}$ という点Pが三角形ABCの内部とその境界線上を動くとき、点$u,v$の動く領域をuv平面上で図示せよ。$/vec{OP} = u/vec{a} + v/vec{b}$ という点Pが三角形ABCの内部とその境界線上を動問題2 平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがあり、辺OAを1:2に内分する点をP、辺OBの中点をQ、辺ODを3:1に内分する点をRとし、3点P,Q,Rを通る平面を$/alpha$とする。 あとは点Aがどこにあるかを考える。■問題11 $/bigtriangleup ABC$の外心$O$から直線$BC、CA、AB$に引いた垂線の足をそれぞれ$P、Q、R$とする。それが答です。このとき、等式$2AB^2+AC^2=3AD^2+2BD^2$が成り立つことを証明せよ。 1 2点O, Cを通る直線と$/alpha$の交点をTとするとき、OT:TCを求めよ。

これを発展させて、次の定理ができます。したがって、$/vec{OB}$と $/vec{OC}$は直交する。—問題21 $1$ 辺の長さが $1$の正四面体 $OABC$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $D$, 辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $E$, 辺 $AC$ を $2:1$ に内分する点を $F$ とする。その大きさから $x^2 + y^2 = …$と、所与のベクトルとの内積から $a?b = /vec{a}/vec{b}/cosθ$で連立方程式を作ります。1 の答-5, 15, 20 2 の答-1, -8, 5 問題5 △OABがあり、$/vec{OA}=/vec{a},/vec{OB}=/vec{b}$ とすると、$/vec{a}$の大きさは4、$/vec{b}$の大きさは5である。S は BC を s : 1-s に内分する点だとすると、ベクトル$/vec{OS}$を2つの方法で表現します。

—1 $/vec{a}=3,4$に垂直で、大きさが5のベクトル$/vec{p}$2 $/vec{a}=2,/sqrt{5}$に垂直な単位ベクトル$/vec{e}$3 $/vec{a}=-1,7$と45°の角をなし、大きさが5であるベクトル$/vec{x}$解 求めるベクトルを$x, y$とおく。すなわち $/vec{OT} = k/vec{ OC} = k/vec{OB}+/vec{OD}-/vec{OA}$ $ = -k/vec{OA} +k/vec{OB} + k/vec{OD}$であり、かつ $/vec{OT} = /vec{OP} + l/vec{OQ}-/vec{OP} +m/vec{OR}-/vec{OP}$ $= 1/3/vec{OA} + l /{ 1/2/vec{OB} – 1/3/vec{OA} /} + m /{ 3/4/vec{OD} – 1/3/vec{OA} /}$ $= /{ 1/3- 1/3l -1/3m /} /vec{OA} + 1/2l /vec{OB} + 3/4m/vec{OD}$この2つの表現が一致するので、 $-k = 1/3- 1/3l -1/3m$ $k = 1/2l$ $k = 3/4m$もちろんここでベクトルの1次独立性3点A,B,Dが一直線上にないことを使っています。

 $/vec{OS}?/vec{PQ} = -1 + 0 + 1 = 0,$ $/vec{OS}?/vec{PR} = 0 – 1 + 1 = 0$■問題7 次のベクトルを求めよ。■解 $/vec{i}, /vec{j}, /vec{k}$ は空間内の互いに直交する単位ベクトル基本ベクトルというです。 あとは、格子を縦、横に伸ばしたり縮めたりし、金網みたいにひしゃげれば?できあがりです。—解  $/vec{a}+/vec{b}^2 = /vec{a}+/vec{b} /cdot/vec{a}+/vec{b}$ $= /vec{a}/cdot/vec{a} +2/vec{a}/cdot/vec{b} + /vec{b}/cdot/vec{b} =121$と、 $/vec{a}-/vec{b}^2 = /vec{a}-/vec{b}/cdot/vec{a}-/vec{b}$ $= /vec{a}/cdot/vec{a} – 2/vec{a}/cdot/vec{b} + /vec{b}/cdot/vec{b}= 49$の辺々を引いて $4/vec{a}/cdot/vec{b} = 72$よって $/vec{a}/cdot/vec{b} = 18$ ……答問題9 $/vec{a}=2,1,1,/vec{b}=1,2,-1$のとき、$/vec{a}+t/vec{b}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ。

$/vec{OA}=/vec{a}$, $/vec{OB}=/vec{b}$, $/vec{OC}=/vec{c}$ とすれば、所与の等式から $/frac{/vec{b}+/vec{c}}{2}+2/frac{/vec{c}+/vec{a}}{2}+3/frac{/vec{a}+/vec{b}}{2}=/vec{0}$2倍して整理すれば $5/vec{a}+4/vec{b}+3/vec{c}=/vec{0}$この等式に$vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ を掛ける内積をとるとどうなるか。—問題18 4点 $O0,0,0,A1,1,4,B4,?2,2,C2,2,?2$ を頂点とする四面体において、頂点Oから辺BCに下ろした垂線と辺BCとの交点をQ、頂点Aから三角形OBCを含む面に下ろした垂線とその面との交点をRとする問題19 $O0,0,A2,0,B1,2$ に対して点 $P$ が次の条件を満たしながら動くとき、点 $P$ の動く範囲を求めよ。2 線分AB上の点 Q は  $u_{0}/vec{ a} + v_{0} /vec{b}$ ただし $u_{0} + v_{0} =1, 0 /leq u_{0}/leq1,0 /leq u_{0} /leq 1$ ですから、a,bの係数の組 $u_{0}, v_{0}$ は uv平面内の線分 AB上の点Qを意味します。

—解 極端な例を考えると答が分かります。§6. もとの四角錐O-ABCD の体積を$V_{0}$ とし、O が頂点で、5角形PQSSR を底面とする5角錐の体積を$V_{1}$とし、$V_{1}$を求めます。問題17 △ABCの辺BCを3等分した点のうちBに近い方の点Dをとする。 点 $A$ から2つのベクトル $/vec{u}=0,1,1,/vec{v}=4,0,4$ を生やして、これを隣り合う2辺として平行四辺形を作ればよい。このとき、等式$2AB^2+AC^2=3AD^2+2BD^2$が成り立つことを証明せよ。このとき、 $k=ク/ケ、l=コ/サ$である。 平面 $/alpha$ の方程式は、ヘッセの標準形により $x/3/4 +y/2/3+z/k=1$ となるはずだが $F$ の座標を代入して、$k=6/5$ と分かるので、 $/frac{4}{3}x +/frac{3}{2}y +/frac{5}{6}z = 1$直線 $BC$ の方程式は $/left/{ /begin{array}{ccl} x & = & 0 // y & =& t // z & =& 1-t /end{array} /right.$これを $/alpha$ の式に代入して $t = 1/4$ となることから、交点 $G$ は $x,y,z = 0,1/4,3/4$よって $/vec{OG} = 0 /vec{OA} + 1/4 /vec{OB} +3/4 /vec{OC}$ $= /frac{1}{4} /vec{OB} +/frac{3}{4} /vec{OC}$ ……答解N の位置ベクトルを求めよう。

— 証明 OS ⊥ PQ, OS ⊥ PR の2つを言えばよい。$01$だから点Q はAD の外分点で、$l : l-1$ に外分する。$/vec{OH}$を $/vec{OA},/vec{OB},/vec{OC}$ で表すとどうなるか。■問題2 平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがあり、辺OAを1:2に内分する点をP、辺OBの中点をQ、辺ODを3:1に内分する点をRとし、3点P,Q,Rを通る平面を$/alpha$とする。$t$は実数とする。1 ABを3:2に内分する点をCとすると、 $ /vec{OC} = /frac{2 /vec{OA}+3 /vec{OB}}{3+2} = /frac{2}{5} /vec{a}+ /frac{3}{5} /vec{b}$2 $ /vec{BD} = k /vec{OA }= k /vec{a},$  $ /vec{OD} = l /vec{OC} = /frac{2}{5}l /vec{a} + /frac{3}{5}l /vec{b}$より、 $ /vec{OD} = /vec{OB} + /vec{BD}$ から $/frac{2}{5}l /vec{a} + /frac{3}{5}l /vec{b}= k /vec{a} + /vec{b}$よって $k = /frac{2}{3}, l = /frac{5}{3}$となって、  $/vec{BD} = /frac{2}{3} /vec{a}, $  $/vec{OD} = /frac{2}{3} /vec{a} + /vec{b}$3 OE⊥AB より  $/vec{OE} = t /vec{a} + 1-t /vec{b}$とおけば $t /vec{a} + 1-t /vec{b}/cdot/vec{b}- /vec{a} = 0$から $-t /vec{a}^2 +t-1-t /vec{a}? /vec{b} +1-t /vec{b}^2 = 0$ $-16t +72t-1 +251-t = 0$すなわち $-27t +18 = 0 $ $t = /frac{2}{3}$よって $/vec{OE} = /frac{2}{3} /vec{a} + /frac{1}{3} /vec{b}$ $ /vec{DE} = /vec{OE} – /vec{OD} =/frac{2}{3} /vec{a} + /frac{1}{3}/vec{b}- /frac{2}{3} /vec{a} + /vec{b} = -/frac{2}{3} /vec{b}$ $ /vec{DE}^2 = /frac{4}{9} /vec{b}^2 = /frac{100}{9}$ $ /vec{DE} = /frac{10}{3}$答 エ=2,オ=5,カ=3,キ=5,ク=2,ケ=3,コ=5,サ=3,シ=2,ス=3,セ=1,ソ=3,タチ=10,ツ=3問題6 図1に示すように頂点のひとつが原点に一致するように置かれた立方体があります。

— $/vec{OP}=s/vec{OA}+/vec{tOB} ,0/leq s/leq 2,1/leq t /leq2$解 極端な例を考えます $O=0,0,A=1,0,B=0,1$とすると、 $P=x,y,x = s 0/leq s/leq 2,y = t 1/leq t /leq 2$これは下図の上の斜線部の長方形です。—解 $ /vec{a}^2 = 16,/vec{b}^2 = 25, /vec{a} /cdot /vec{b} = 7$ がすぐに分かります。よって $/vec{OH} = /frac{18}{11}/frac{1}{2}, /frac{1}{2}, /frac{1}{3} $だが、これが $a/vec{OA} + b/vec{OB} +c/vec{OC} =a2,0,0+b0,2,0+c0,0,3=2a, 2b,3c$と等しいから、 $2a=/frac{9}{11}, 2b=/frac{9}{11}, 3c=/frac{6}{11}$したがって $/vec{OH}=/frac{9}{22} /vec{OA} +/frac{9}{22}/vec{OB}+/frac{2}{11}/vec{OC}$……答問題21 $1$ 辺の長さが $1$の正四面体 $OABC$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $D$, 辺 $OB$ を $2:1$に内分する点を $E$, 辺 $AC$ を $2:1$ に内分する点を $F$ とする。

パラメータをいろいろ動かしてみよう。 2 O-ABCDの体積は$/alpha$によってどのような比に分けられるか 。§5. 平面$/alpha$ と辺DC との交点S の位置ベクトルを求めましょう。すなわち $/vec{OS} = 1-s/vec{OB} + s/vec{OC} $ $= -s/vec{OA} + /vec{OB} + s/vec{OD}$であり、かつ $/vec{OS} = /{ 1/3- 1/3l -1/3m /} /vec{OA} + 1/2l /vec{OB} +3/4m /vec{OD}$ この2つの表現が一致するので、 $-s = 1/3- 1/3l -1/3m$ $1 = 1/2l$ $s = 3/4m$上の3元連立方程式を解くと、 $s = 3/5, l = 2, m = 4/5$ですので、S は BC を 3 : 2 に内分する点だと分かります。するとベクトル $-/vec{a}-3/vec{b}$ の成分は $-/vec{a}-3/vec{b}=-1, 0-30, 1=-1, -3$です。

 $a_{1} = k b_{1}$ $a_{2} = k b_{2}$これより $a_{1}b_{2} =a_{2}b_{1}$となり、 $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$■別解$/cos/theta = /vec{a}/cdot/vec{b}//vec{a}/vec{b} =/pm 1$分母払って両辺2乗すれば $/vec{a}/cdot /vec{b}^2 = /vec{a}^2 /times /vec{b}^2$成分で表わせば $a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}^2 = a_{1}^2 + a_{2}^2b_{1}^2 + b_{2}^2$一般に $a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}^2 ≦ a_{1}^2 + a_{2}^2b_{1}^2 + b_{2}^2$が成り立ち、コーシー?シュバルツの不等式と言われています。問題16 鋭角三角形ABCの外心Oから直線BC, CA, ABに下ろした垂線の足をそれぞれ P, Q, R とするとき$/vec{OP}+2/vec{OQ}+3/vec{OR}=/vec{0}$が成立しているとするとき、$/angle A$の大きさを求めよ。

外接円の半径を$1$にすれば相似に拡大?縮小すればよい $/vec{a} /cdot 5/vec{a}+4/vec{b}+3/vec{c}=4/vec{a} /cdot /vec{b} +3/vec{c} /cdot /vec{a} +5=0$ $/vec{b} /cdot 5/vec{a}+4/vec{b}+3/vec{c}=5/vec{a} /cdot /vec{b}+3/vec{b} /cdot /vec{c}+4=0$ $/vec{c} /cdot 5/vec{a}+4/vec{b}+3/vec{c}=4/vec{b} /cdot /vec{c} +5/vec{c}/cdot /vec{a} +3=0$これを$/vec{a} /cdot /vec{b}, /vec{b} /cdot /vec{c} ,/vec{c} /cdot /vec{a}$に関する3元連立方程式と考えて解くと $ /vec{b} /cdot /vec{c} =0$が分かる。 3 △ABCの内部および境界線上の点 P は $s /vec{OQ} + t/vec{ OC}$ ただし $s + t =1, 0 /leq s /leq 1, 0 /leq t /leq 1$ ですが $s /vec{OQ} + t /vec{OC} = s u_{0}/vec{ a} + v_{0} /vec{b} + t -/vec{a}-3/vec{b}$ $=s /cdot u_{0} + t /cdot -1a + s /cdot v_{0} +t /cdot -3/vec{b}$でこれが  $/vec{OP} = u/vec{a} + v/vec{b}$ に等しいのだから、 $u=s /cdot u_{0} + t /cdot -1, v= s /cdot v_{0} +t /cdot -3$  ただし$s+ t =1, 0 /leq s /leq 1, 0 /leq t /leq 1$ ですから、在処を求めるべき uv平面上の点 $u, v$は 点$Qu_{0}, v_{0}$と点$C-1,-3$を結ぶ線分 QC上の点Pです。

—解  $/vec{a}+t/vec{b}^2 = /vec{a}+t/vec{b}/cdot/vec{a}+t/vec{b}$ $=/vec{a}^2 +2t /vec{a}/cdot/vec{b} +t^2/vec{b}^2$ $=6+ 6t +6t^2=6t+ 1/2^2+ 9/2$答 $9/2t=-1/2$問題10 $/vec{a}=a_{1},a_{2},/vec{b}=b_{1},b_{2}$のとき、$/vec{a}///vec{b}$ならば$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$が成り立つことを示せ。よって、三角錐O-ABD も三角錐O-BCD もともに体積は$V_{0}/2$ です。$t$は実数とする。平面$/alpha$ が底面を突き破って地下側に頂点T ができます。1 $x^2 + y^2 = 25,$ $3x + 4y =0$ 答$ ±4,?3$2 $x^2 + y^2 = 1,$ $2x + /sqrt{5}y =0$ 答 $±/sqrt{5}/3,?2/3$3 $x^2 + y^2 = 25,$ $-x + 7y =5/sqrt{2}×5×1//sqrt{2}$ 答$ -4,3, 3,4$問題8 ベクトル$/vec{a},/vec{b}$が$/vec{a}+/vec{b}=11, /vec{a}-/vec{b}=7$を満たすときの内積$/vec{a}/cdot /vec{b}$ を求めよ。

「地下に潜った部分」というのは、三角錐T-SSC の体積である。問題23 空間内に $O0,0,0,A1,2,0,B0,1,1,C2,0,2$ があり、$/vec{OP}=/vec{ OA}+m /vec{OB}+n/vec{OC}$ で $0 /leq m /leq1, 0 /leq n /leq 2$ を動くとき点 $P$ の描く図形の面積を求めよ。—問題19 $O0,0,A2,0,B1,2$ に対して点 $P$ が次の条件を満たしながら動くとき、点 $P$ の動く範囲を求めよ。ですから $OT : TC = 3 : -2$で外分になります。 そのため $/vec{OP}=/vec{OB}+/vec{OC}/2$ $/vec{OQ}=/vec{OC}+/vec{OA}/2$ $/vec{OR}=/vec{OA}+/vec{OB}/2$である。このとき、$/vec{OG}$ を $/vec{OB}$ と $/vec{OC}$を用いて表わせ。1の答は OT : TC = 3 : 2§3. さて問2ですが、次の定理を使います。

—問題14 $AB=4, AD=2,/angle BAD=60^/circ$である平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを$2:1$に内分する点をE. 辺CDの中点をFとし、線分EFと線分ACの交点をPとし、$/vec{AB}=/vec{b}, /vec{AD}=/vec{d}$ とする問題16 鋭角三角形ABCの外心Oから直線BC, CA, ABに下ろした垂線の足をそれぞれ P, Q, R とするとき$/vec{OP}+2/vec{OQ}+3/vec{OR}=/vec{0}$ が成立しているとするとき、$/angle A$の大きさを求めよ。まず $/vec{OP}=/vec{ON}+x /vec{BN}=/vec{ON}+x /vec{ON}-/vec{OB}$ $=1+x/vec{ON}-x /vec{OB}=1+x/frac{1}{2}/vec{OA}+/frac{1}{6}/vec{OB}+/frac{1}{12}/vec{OC}-x /vec{OB}$であり、平面 OAC 上にあることから $/vec{OP}=y /vec{OA}+z /vec{OC}$これら2つのベクトルが等しいから $1+x/frac{1}{2}/vec{OA}+/frac{1}{6}/vec{OB} +/frac{1}{12}/vec{OC}-x/vec{OB}=y /vec{OA}+z /vec{OC}$よって $/frac{1+x}{2}=y,/frac{1+x}{6}-x=0,/frac{1+x}{12}=z$だから $x=/frac{1}{5},y=/frac{3}{5},z=/frac{1}{10}$したがって $/vec{OP}=/frac{3}{5} /vec{OA} +/frac{1}{10}/vec{OC}$ ……答問題23 空間内に $O0,0,0,A1,2,0,B0,1,1,C2,0,2$ があり、$/vec{OP}=/vec{ OA}+m /vec{OB}+n/vec{OC}$ で $0 /leq m /leq1, 0 /leq n /leq 2$ を動くとき点 $P$ の描く図形の面積を求めよ。

すなわち $/vec{OS} = 1-s/vec{OD} + s/vec{OC} $ $= -s/vec{OA} + s/vec{OB} + /vec{OD}$であり、かつ $/vec{OS} = /{ 1/3- 1/3l -1/3m /} /vec{OA} + 1/2l /vec{OB}+ 3/4m /vec{OD}$ この2つの表現が一致するので、 $-s = 1/3- 1/3l -1/3m$ $s = 1/2l$ $1 = 3/4m$上の3元連立方程式を解くと、 $s = 1/3, l = 2/3, m = 4/3$ですので、S は DC を 1 : 2 に内分する点だと分かります。$3$ 点 $D,E,F$ が定める平面を問題22 空間内に四面体 OABC があり、辺 BC を 1:2 に内分する点を D, 線分 OD の中点を M, 線分 AM の中点を N とする。外接円の優弧BCにあるか、劣弧BCにあるかのどちらかであり、後者なら$/triangle ABC$は鈍角三角形になってしまうから、点Aは優弧上にある。

 でもなぜ?—証明しましょう。法線ベクトルは $t /frac{1}{2}, /frac{1}{2}, /frac{1}{3}$ で、このベクトルの終点が平面上にあることから式を立てると $/frac{1}{4}t+ /frac{1}{4}t + /frac{1}{9}t = 1$  $/frac{11}{18}t=1 /rightarrow t=/frac{18}{11}$と分かる。■問題18 4点 $O0,0,0,A1,1,4,B4,?2,2,C2,2,?2$ を頂点とする四面体において、頂点Oから辺BCに下ろした垂線と辺BCとの交点をQ、頂点Aから三角形OBCを含む面に下ろした垂線とその面との交点をRとする。三角錐C-SST の体積は $/vec{CS} =2/5/vec{CB}$ $/vec{CS}=2/3/vec{CD}$  $/vec{CT}= 2 /vec{CO}$だから定理いにより $V[T-SSC] = 2/5×2/3×2×V_{0}/2 =4/15V_{0}$④ ①~③より、 $V_{1} = 1/16V0 + 9/16V_{0} – 4/15V_{0}$ $= 43/120V_{0}$ 結論 $V_{1} : V_{0}-V_{1} =/frac{43}{120}V_{0} : V_{0}-/frac{43}{120}V_{0}= 43 : 77$43の方が頂点O を含む側です。

S は DC を s : 1-s に内分する点だとすると、ベクトルOSを2つの方法で表現します。—解 $OA,OB,OC$ がそれぞれ $x$ 軸, $y$ 軸, $z$軸となるように斜交座標系を導入。⑴ 線分OQの長さを求めよ。—解例えばOPは二等辺三角形OBCの底辺の垂直二等分線である。1辺の長さを1 として、一般性を失わない。$/vec{OH}$を $/vec{OA},/vec{OB},/vec{OC}$ で表すとどうなるか。具体的に言うと、$m,n=0,0, 1,0, 0,2, 1,2$ を代入すれば $/vec{OP_{1}}=/vec{OA}$ $/vec{OP_{2}}=/vec{OA}+0,1,1$ $/vec{OP_{3}}=/vec{OA}+ 4,0,4$ $/vec{OP_{4}}=/vec{OA}+0,1,1+ 4,0,4$である。⑵ 三角形OBCの面積を求めよ。問題演習ベクトル。問題17 △ABCの辺BCを3等分した点のうちBに近い方の点Dをとする。

—解平面の方程式は $/frac{x}{2} + /frac{y}{2} + /frac{z}{3} = 1$これをヘッセの標準形というである。—解 点 $P$ の描く図形は、平行四辺形である。また、$/vec{a},/vec{b}$のなす角を$/theta$ とすると、$/cos /theta=/frac{7}{20}$ である。—解§1. 四角錐の底面が平行四辺形なので $/vec{OC}=/vec{OB}+/vec{OD}-/vec{OA}$で、仮定より $/vec{OP}=1/3/vec{OA}$ $/vec{OQ}=1/2/vec{OB}$ $/vec{OR}=3/4/vec{OD}$です。2 点Bを通り直線OAに平行な直線と直線OCの交点をDとすると、$/vec{BD}=k/vec{OA}, /vec{OD}=l /vec{OC}$である。$3$ 点 $D,E,F$ が定める平面を $/alpha$とし、平面 $/alpha$ と辺 $BC$ との交点を $G$ とする。 $/vec{OS} =1, 1, 1,$ $/vec{PQ} = -1, 0, 1,$ $/vec{PR} =0, -1, 1$内積を計算。

公式 $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ と $x_{2}, y_{2}, z_{2}$ の外積は $ /left /begin{array}{ccc} /vec{i} & x_{1} & x_{2} // /vec{j}& y_{1} & y_{2} // /vec{k} & z_{1} & z_{2} /end{array}/right$ という行列式で計算できます。問題演習ベクトルCopyright C virtual_high_school, 2016-19問題1 平面上に点Oと三角形ABCがある。ベクトル $/vec{a},/vec{ b}$ の成分をそれぞれ 1, 0, 0, 1 とします。成分表示すれば $/vec{i }= 1, 0, 0$ $/vec{j }= 0, 1, 0$ $/vec{k }= 0, 0, 1$公式 $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ と $x_{2}, y_{2}, z_{2}$ の内積は $x_{1}, y_{1}, z_{1} /cdot x_{2}, y_{2}, z_{2} = x_{1} /timesx_{2}+ y_{1} /times y_{2} +z_{1} /times z_{2} $また、2つのベクトルが直交 ? 内積=01 の答 2-6+3 = -12 の答 6+0+0 = 64 の答 8-2a-2 = 0 より a = 3公式 $/vec{a}?/vec{b} = /vec{a}/vec{b}cosθ より、cosθ = /vec{a}?/vec{b}//vec{a}/vec{b}$公式 $/vec{ a}?/vec{a} = /vec{a}/vec{a}cos0 = /vec{a}^{2}$ より、$/vec{a}= /sqrt{/vec{a}?/vec{a}}$3 の答 cosθ = $/frac{12-6-2}{/sqrt{4+4+1} /sqrt{36+9+4}} = /frac{4}{3 /times7} = /frac{4}{21}$■問題4 $/vec{A}=/vec{i}-2/vec{j}-3/vec{k},/vec{B}=2/vec{i}+/vec{j}-/vec{k},/vec{C}=/vec{i}+3/vec{j}-2/vec{k}$のとき、 1 $/vec{A} /times /vec{B} /times /vec{C}$ 2 $/vec{A} /times /vec{B} /times /vec{C}$を求めよ。

 $/vec{AD} = 2/vec{AB}+/vec{AC}/3$だから $/vec{BD} = /vec{AD}-/vec{AB} = 1/3-/vec{AB}+/vec{AC}$これを使って、目的の式の右辺を計算しよう。—解 $a_{1},a_{2} = kb_{1},b_{2}ただしk/neq0$ ……*とおける。さて、これの面積だが、三角形の2倍だから $S=/vec{u}/vec{v}/sin /theta$ここで2辺のなす角 $/theta$ について考えると $/cos /theta=/frac{/vec{u} /cdot /vec{v}}{/vec{u} /vec{v}}$ $=/frac{0 /cdot 4+1 /cdot 0+1 /cdot 4}{/sqrt{0^2+1^2+1^2}/sqrt{4^2+0^2+4^2}}=/frac{1}{2}$ $/Rightarrow /theta=60^/circ$したがって $S=/sqrt{2}/times 4/sqrt{2}/times /sin60^/circ=4/sqrt{3}$ ……答計算問題中学以上を出し合う場所。 1 点 C は  $-/vec{a} -3/vec{b}$ ですから、a,bの係数の組 -1, -3 は uv平面上の点 C-1,-3を意味します。

uv平面上に3点?A1, 0, B0, 1, C-1, -3?を打点し、△ABCの内部とその境界線を塗り絵しましょう。$V_{0}$ の底面は平行四辺形なので対角線BD は底面を2等分することになります。—解 これは外積の問題です。よって $/angle A =45^{/circ}$ ……答もし劣弧上なら$135^{/circ}$である。 $/vec{AD}^2=1/9 /{ 4/vec{AB}^2+4/vec{AB} /cdot /vec{AC}+/vec{AC}^2/}$ $2/vec{BD}^2= 2/9 /{/vec{AB}^2-2/vec{AB}/cdot/vec{AC}+/vec{AC}^2/}$この2つを足して3倍すると $3/vec{AD}^2+2/vec{BD}^2=$$3/9/{ 6/vec{AB}^2+3/vec{AC}^2/}$ $=2 /vec{AB}^2+ /vec{AC}^2$で、左辺に等しくなりました。この三角錐T-SSCは見方を変えると、三角錐C-SST である。

 $/vec{OD}=/frac{2 /vec{OB}+/vec{OC}}{3}$ $/vec{OM}=/frac{1}{2} /vec{OD}= /frac{1}{3}/vec{OB} +/frac{1}{6}/vec{OC}$ $/vec{ON}=/frac{/vec{OA}+/vec{OM}}{2}= /frac{1}{2}/vec{OA}+/frac{1}{6}/vec{OB}+/frac{1}{12}/vec{OC}$次に、P の位置ベクトルを2通りの方法で表わし、それを等しいとおけばよい。—出てくるベクトルをすべて$/vec{AB},/vec{AC}$で表わせばよい。また、$/vec{a},/vec{b}$ のなす角を$/theta$ とすると、$/cos /theta=/frac{7}{20}$ であ問題6 図1に示すように頂点のひとつが原点に一致するように置かれた立方体があります。 $D3/4, 0, 0$ $E 0, 2/3, 0$ $F1/3, 0, 2/3$ となる。答 上図の斜線部の平行四辺形。$/vec{OA} = /vec{a}, /vec{OB} = /vec{b}, /vec{OC} = -/vec{a}-3/vec{b}$とする。

—問題1 平面上に点Oと三角形ABCがある。直線 BN と平面 OAC の交点を P とするとき、$/vec{OP}$ を $/vec{OA}$ と $/vec{OC}$ で表せ。—問題10 $/vec{a}=a_{1},a_{2},/vec{b}=b_{1},b_{2}$のとき、$/vec{a}///vec{b}$ならば$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$が成り立つことを示せ。§2. ベクトル$/vec{OT}$を2つの方法で表現します。① 三角錐O-PQR の体積は $/vec{OP}=1/3/vec{OA}$ $/vec{OQ}=1/2/vec{OB}$ $/vec{OR}=3/4/vec{OD}$だから定理いにより $V[O-PQR] = 1/3×1/2×3/4×V_{0}/2 =1/16V_{0}$② 三角錐O-QTR の体積は $/vec{OQ}=1/2/vec{OB}$ $/vec{OT}= 3 /vec{OC}$  $/vec{OR}=3/4/vec{OD}$だから定理いにより $V[O-QTR] = 1/2×3 ×3/4×V_{0}/2 =9/16V_{0}$③ ①と②を足した後、地下に潜った部分を引かねばならない。

—問題20 3点 $A2,0,0,B0,2,0,C0,0,3$ が定める平面に原点 $O$ から垂線 $OH$ を下ろす。ここで等号が成り立つのが $a_{1} : b_{1} = a_{2} : b_{2}$ のときですが、これって*と同値です。1 辺ABを3:2に内分する点をCとすると、  $/vec{OC}=/frac{エ}{オ}/vec{a} +/frac{カ}{キ}/vec{b}$である。[1]平方の差が8となる2組の奇数が存在しないことの説明2組の奇数をa,ba。$/vec{OA} = /vec{a}, /vec{OB} = /vec{b}, /vec{OC} = -/vec{a}-3/vec{b}$とする。3 さらに、辺AB上に点EをOE⊥ABとなるようにとると、 $/vec{OE}=シ/ス /vec{a} + セ/ソ /vec{b}$ $/vec{DE}$の大きさはタチ/ツである。3つの頂点を結んだ正三角形PQRに対して、頂点Sと原点を結んだ線分OSが、この正三角形の垂線となっていることを、問題8 ベクトル$/vec{a},/vec{b}$が$/vec{a}+/vec{b}=11, /vec{a}-/vec{b}=7$を満たすときの内積$/vec{a}/cdot /vec{b}$ を求めよ。

—問題13 $/mathbb{R^2}$において、$/vec{a_{1}}=1,2, /vec{a_{2}}=3,4$が基底であることを証明せよ。§4. 平面$/alpha$ と辺BC との交点S の位置ベクトルを求めましょう。すなわち $/vec{a}=1, 0, /vec{b}=0, 1$です。3つの頂点を結んだ正三角形PQRに対して、頂点Sと原点を結んだ線分OSが、この正三角形の垂線となっていることを、ベクトルの内積を利用して示しなさい。 S=1, 1, 1, P=1, 1, 0, Q=0, 1, 1, R=1, 0, 1より次のベクトルの成分を計算。—$/vec{OP}=s/vec{OA}+t/vec{OB},0 /leq s /leq 1、1 /leq t /leq 3$問題20 3点 $A2,0,0,B0,2,0,C0,0,3$ が定める平面に原点 $O$ から垂線 $OH$ を下ろす。答はb問題15 三角形OABにおいて、次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。

問題4 $/vec{A}=/vec{i}-2/vec{j}-3/vec{k},/vec{B}=2/vec{i}+/vec{j}-/vec{k},/vec{C}=/vec{i}+3/vec{j}-2/vec{k}$のとき、問題5 △OABがあり、$/vec{OA}=/vec{a},/vec{OB}=/vec{b}$ とすると、$/vec{a}$の大きさは4、$/vec{b}$の大きさは5である。上の3元連立方程式を解くと、 $k = 3, l = 6, m = 4$ですので $/vec{OT} = 3/vec{ OC}$となります。—問題9 $/vec{a}=2,1,1,/vec{b}=1,2,-1$のとき、$/vec{a}+t/vec{b}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ。

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